Новости Русского мира

Новое доказательство теоремы о многочлене / Блог компании Trinity Digital & Баласс Group / Хабрахабр

0 8


В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть

— бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки

$xin R$

найдется натуральное

$n$

такое, что

$f^{(n)}(x)=0$

. Тогда

$f(x)$

многочлен.

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть

$H$

и

$F_{1},F_{2},...,F_{n},...$

замкнутые подмножества прямой, причем

$H neq varnothing$

и

$Hsubset bigcup limits_{n} F_{n}$

. Тогда в

$H$

найдется точка, которая содержится в одном из

$F_{n}$

вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка

$xin H$

, натуральное

$n$

и

$varepsilon >0$

такие, что

$(x-varepsilon;x+varepsilon)cap H subset F_{n}$

.

Действительно (от противного), выберем точку

$x_{1} in H$

и окружим ее окрестностью

$Delta_{1}=(x-varepsilon_{1};x+varepsilon_{1})$

, где

$varepsilon_{1}<1$

. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит

$Delta_{1} cap H not subset F_{1}$

. Выберем в

$Delta_{1} cap H$

точку

$x_{2}notin F_{1}$

. Окружим

$x_{2}$

интервалом

$Delta_{2}=(x_{2}-varepsilon_{2};x_{2}+varepsilon_{2})$

таким, что концы этого интервала — точки

$x_{2}-varepsilon_{2}$

и

$x_{2}+varepsilon_{2}$

лежат в

$Delta_{1}$

, а

$varepsilon_{2}<frac{1}{2}$

. По предположению

$Delta_{2}cap Hnotin F_{2}$

. Это позволяет выбрать в

$Delta_{2} cap H$

некоторую точку

$x_{3} notin F_{2},...$

Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов

$Delta_{1}supset Delta_{2}supset ...$

Ясно, что

$x_{1}-varepsilon_{1}< x_{2}-varepsilon_{2}<...<x_{n}-varepsilon_{n}...$

, (1)

$x_{1}+varepsilon_{1}>x_{2}+varepsilon_{2}>...>x_{n}+varepsilon_{n}...$

(2)

Так как каждый промежуток

$Delta_{i}cap Hneq varnothing$

, то

$lim _{ito infty}(x_{i}-varepsilon_{i})=lim_{itoinfty} (x_{i}+varepsilon_{i})=y, yin H$

, а из (1) и (2) следует, что

$yin Delta_{i}$

для каждого

$i$

. Таким образом мы нашли точку

$y in H$

, но не лежащую ни в одном из множеств

$F_{i} phantom{1} (i=1,2,...)$

.

2. Если каждая точка отрезка

$[a;b]$

правильная, то сужение

$f(x)$

на

$[a;b]$

— многочлен.

Действительно, для каждой точки

$tin [a;b]$

найдется интервал такой, что сужение

$f(x)$

на этот интервал — многочлен. Т.е. для каждой точки найдется интервал и некоторое натуральное

$n$

, что

$f^{(n)}(x)$

равна нулю на этом интервале.

Из компактности отрезка

$[a;b]$

следует, что найдется такое натуральное

$ m$

, что

$f^{(m)}(x)=0$

всюду на

$[a;b]$

, следовательно

$f(x)$

— многочлен.

3. Если каждая точка полуинтервала

$[a;b)$

правильная, то

сужение

$f(x)$

на

$[a;b)$

— многочлен.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность

$a=a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}<...$

такую, что

$a_{n}$

сходится к

$b$

. По доказанному в предыдущем пункте на каждом из отрезков

$[a_{1};a_{2}],...,[a_{1};a_{n}],...$

сужение

$f(x)$

— многочлен. Пусть

$P_{k}(x)$

— многочлен, совпадающий с

$f(x)$

на отрезке

$[a_{1};a_{k+1}]$

. Ясно, что

$P_{k}(x)=P_{1}(x)$

для всех

$k=2,3,...$

Поэтому

$P_{1}(x)$

совпадает с

$f(x)$

на

$[a;b)$

, значит и в точке

$b$

. (Напомним, что

$P_{1}(x)$

и

$f(x)$

непрерывны всюду на

$R$

).

Аналогично предыдущему легко доказать, что:

4. Если каждая точка полуинтервала

$(a;b]$

или интервала

$(a;b)$

— правильная, то

$f(x)$

— многочлен на

$[a;b]$

.

Приступим к исследованию неправильных точек, т.е. точек множества

$F$

.

5. Множество

$F$

не содержит изолированных точек.

Действительно. Пусть

$ain F $

— изолированная точка. Тогда для некоторого

$varepsilon >0phantom{1} [a-varepsilon,a)$

и

$(a,a+varepsilon]$

состоят из правильных точек. Значит, сужение

$f(x)$

на

$[a-varepsilon;a]$

и на

$[a;a+varepsilon]$

многочлены. Ясно, что при достаточно большом

$n$

(

$n$

должно быть больше степеней каждого из этих многочленов)

$f^{n}(x)$

будет равна нулю всюду на

$[a-varepsilon;a+varepsilon]$

. Т.е.

$a$

является правильной точкой.

6. Пусть множество

$F$

неправильных точек не пусто. Положим

$E_{n}={ x:f^{(n)}(x)=0 }$

. Ясно, что

$F subset bigcup limits_{n} E_{n}$

и каждое

$E_{n}$

замкнуто. Из теоремы Бэра (см. 1.) следует, что найдется интервал

$(a;b)$

такой, что

$(a;b) cap Fneq 0$

и

$(a;b) cap F$

лежит в одном из

$E_{n}$

.

Рассмотрим функцию

$f^{(n)}(x)$

. Эта функция равна нулю в каждой точке

$xin F cap (a;b)$

. Так как каждая неправильная точка является предельной для множества

$F$

, то

$f^{(n+k)}(x)=0$

для всех целых

$kgeq 0$

и всех

$xin (a;b)cap F$

.

Докажем, что

$f^{n}(x)$

равна

$0$

всюду на

$(a;b)$

. Пусть не так. Тогда найдется

$c in (a;b)$

такая, что

$f^{(n)}(c)neq 0$

. Так как множество

$F$

не пусто и замкнуто, то найдем в нем точку

$d$

, ближайшую к

$c$

. Для определенности положим

$d < c$

. Функция

$g(x)=f^{(n)}(x)$

бесконечно много раз дифференцируема на

$[d;c], phantom{1} g(d)=0$

и все производные

$g^{n}(d)=0$

. Так как

$g(c) neq 0$

, то по теореме о конечных приращениях Лагранжа

$g^{(n)}(x)$

не может быть равна нулю всюду на

$(d;c)$

ни для одного натурального

$n$

.


Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см.
статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы



Source link

Comments
Loading...